Diario delle Lezioni (aggiornato al 19 Dicembre, fine corso)

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I Settimana (21-25 Settembre)

Introduzione storica al corso. Modalità di valutazione. Organizzazione del corso. Prime operazioni tra insiemi.
Brevi cenni di introduzione ad una teoria "ingenua" degli insiemi.
Prime operazioni tra insiemi: unione, intersezione, insieme complementare, insieme delle parti.

Parte del programma del corso trattata ad esercitazioni:
Principali simboli logici, proposizioni, tabelle di verità. Negazione di proposizioni del tipo  P∧Q, P∨Q (e, quindi, anche P ⇒ Q), e negazione di proposizioni contenenti i simboli quantificatori esistenziale ∃ oppure universale ∀. Equivalenze logiche, tautologie, dimostrazione per assurdo. Esempi.
  • Appunti integrativi
Avvertenza: Nel sito sopra segnalato sulle tabelle di verità, come prima azione, bisogna compilare le colonne laterali (con il valore di verità relativo alla parte sovrastante della proposizione) e, soltanto successivamente, la colonna centrale con il valore di verità della proposizione complessiva
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II Settimana (28 Settembre - 2 Ottobre)

Assiomi di Peano (G. Peano, Spinetta di Cuneo, 1858 – Torino, 1932). Insieme dei numeri naturali N. Costruzione insiemistica di un modello di insieme di numeri naturali. Altri insiemi ("equivalenti" ad N) che verificano gli assiomi di Peano, in particolare, il caso dei numeri naturali positivi N+.  Operazioni di somma e di  prodotto e relazione di ordine in N, introdotte con l'uso esclusivo degli assiomi di Peano.
Insieme dei numeri interi relativi Z.  Operazioni di somma e di  prodotto e relazione di ordine in Z. Principali proprietà soddisfatte da (Z, +, •).

Principio di induzione e  la dimostrazione per induzione. Concetti di "base dell'induzione", "ipotesi induttiva" e "passo induttivo". 
  • Appunti integrativi 
    1. Principio di Induzione 

            "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist  Menschenwerk"
             ["Dio creò i numeri interi, tutto il resto è opera dell'uomo"]
                                Leopold Kronecker (1831-1916)
        

    Ulteriori commenti sulle dimostrazione per induzione: concetti di "base dell'induzione", "ipotesi induttiva" e "passo induttivo". Esempi ed esercizi. Numeri di Fibonacci (o, più precisamente, Leonardo Pisano; Pisa, settembre 1170 – Pisa, 1240 circa).
    Principio di Induzione (denotato con (I)), Principio di Induzione "ampia" (denotato con (I_A)) e Principio del Buon Ordinamento (denotato con (BO)): loro enunciati. Cenni sul fatto che i principi sopra considerati sono tra loro equivalenti.
    Uso del Principio di Induzione "ampia" nel caso dei numeri di Fibonacci. Uso del Principio (BO) per dimostrare che in Z può essere realizzata una divisione con il resto, detta anche divisione euclidea (Euclide, attivo ad Alessandria durante il regno di Tolomeo I (323–283 a.C.)).
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    III Settimana (5 - 9  Ottobre)

    Relazione di divisibilità in Z e prime proprietà.
    MCD in Z:  esistenza ed unicità e prime proprietà. Identità di Bézout (Nemours, F, 31 marzo 1730 – Avon, F,  27 settembre 1783).
    mcm  in Z: esistenza ed unicità e prime proprietà.
    Calcolo del MCD con l'algoritmo euclideo delle divisioni successive.

    (Lezione dell'8 Ottobre tenuta dal Dr. C. Finocchiaro) 
    Equazioni diofantee lineari in due incognite. Dati numeri interi $a,b,c$, l'equazione diofantea $aX+bY=c$ ammette soluzioni se, e soltanto se, il MCD$(a,b)$ divide $c$. Uso dell'Algoritmo di Euclide per determinare una soluzione di una fissata equazione diofantea compatibile. Data una soluzione $(x_0,y_0)\in \mathbf Z\times \mathbf Z$ dell'equazione diofantea $(\star)$ $aX+bY=c$, con MCD$(a,b)=1$, tutte e sole le soluzioni di $(\star)$ sono del tipo $(x_0+bt,y_0-at)$, al variare di $t\in\mathbf Z$. Esempi.

     Dato un intero  b > 1 possibilità degli interi di essere scritti in base b. Unicità della scrittura in base b. Cenni sulla scrittura dei numeri razionali in base b.   Esempi nel caso in cui  b = 2, 5, 10, 12. 
    • Appunti integrativi

         2. Divisione con il resto negli interi

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    IV Settimana (12-16 Ottobre)

    MCD(a, b) mcm(a, b) = |ab|. Calcolo del MCD con l'algoritmo euclideo delle divisioni successivi. 
    Numeri primi e numeri irriducibili: nozioni equivalenti in Z.  
    Teorema Fondamentale dell'Aritmetica. Crivello di Eratostene (Cirene, 275 a.C. circa – Alessandria d'Egitto, 195 a.C. circa).  
    Infinità dei numeri primi. Irrazionalità della radice quadrata di un qualsiasi numero primo. 
    Coppie ordinate. Prodotto cartesiano di insiemi. Corrispondenze e relazioni. Relazioni riflessive, simmetriche, transitive, antisimmetriche, totali. Esempi. 

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    V Settimana (19-23 Ottobre)

    Introduzione alla costruzione dell'insieme C dei numeri complessi, a partire dall'insieme R dei numeri reali. Prodotto di numeri complessi, coniugato e norma di un numero complesso. Forma polare di  numero complesso. Inverso (moltiplicativo) di un numero complesso non nullo.
    Forma polare di numero complesso e formula di de Moivre. Proprietà del coniugio tra numeri complessi. Norma ed inverso (moltiplicativo) di un numero complesso non nullo.
    Corrispondenza inversa e prodotto (o composizione) di corrispondenze. Esempi.

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    VI Settimana (26-30 Ottobre)

     Relazioni di equivalenza. Esempi. Classi di equivalenza. Ricoprimenti e partizioni. Equivalenza logica tra la nozione di relazione di equivalenza e quella di partizione.
    Esempi di relazioni di equivalenza ed insieme quoziente (rispetto ad una relazione di equivalenza).
    Costruzione rigorosa (utilizzando relazioni di equivalenza opportune) degli insiemi numerici
    Z := (N x N)/≈   e    Q := (Z x Z*)/~
    La congruenza modulo n, ≡n,  su Z, è una relazione di equivalenza in Z. Classi dei resti della divisione per n.   L'insieme quoziente      Z/≡n . 
    Prime proprietà della congruenza mod n. Compatibilità della congruenza mod n rispetto alla somma ed al prodotto.

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    VII Settimana (2-7 Novembre)

     Prove di valutazione in itinere.
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    VIII Settimana (9-13 Novembre)
    Criteri di divisibilità per 2, 3, 4, 5, 9, 11.
    La "prova del nove"; esempi e controesempi.
    Somma e prodotto nell'insieme quoziente   Z/≡n . Proprietà di (Z/≡n , +, .) (e confronto con le proprietà di (Z , +, .) e (Q , +, .)). Elementi invertibili  mod n.  Algoritmo del calcolo di un inverso aritmetico mod n di un intero  a  tale che MCD(a, n) =1.  Esistenza ed unicità  mod n  di un inverso aritmetico. Cenni sulla funzione  phi di Eulero.
    Enunciato del "Piccolo" Teorema di Fermat. Conseguenze del"Piccolo" Teorema di Fermat:
    (a + b)^p  ≡p  a^p + b^p .   Applicazioni al calcolo dell'inverso aritmetico modulo un intero primo.
    "Piccolo" Teorema di Fermat: dimostrazione ed esempi. Applicazioni al calcolo dell'inverso aritmetico modulo un intero (non necessariamente primo).
    Risoluzione delle congruenze lineari  aX ≡ b (mod n).  Esempi.

    Corrispondenze ed applicazioni. Caratterizzazione delle applicazioni tramite proprietà del loro grafico.
    Composizione di corrispondenze ed applicazioni. Corrispondenza inversa.  Applicazioni biunivoche (o biiezioni). Esempi

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    IX Settimana (16-20 Novembre)

    Prime proprietà delle immagini e contro-immagini di sottoinsiemi del dominio o codominio di una data applicazione. Vari esempi e controesempi.
    Prodotto operatorio tra applicazioni e sue prime proprietà. Applicazioni suriettive, iniettive e biiettive. 
    Caratterizzazione di quando la corrispondenza inversa è un'applicazione.
    Composizione di corrispondenze ed applicazioni.
    Corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle parti di un insieme X e l'insieme delle applicazioni da X a {0, 1}.  Esempi.
    Prodotto operatorio tra applicazioni e sue prime proprietà.  Caratterizzazione delle applicazioni suriettive, iniettive e biiettive tramite l'esistenza di opportune applicazioni inverse.  Osservazioni sull'esistenza di applicazioni aventi dominio o/e codominio uguali all'insieme vuoto.
    Relazione di equivalenza associata ad un'applicazione (relazione "nucleo"). Teorema fondamentale delle applicazioni: ogni applicazione può essere fattorizzata nel prodotto operatorio di un'applicazione suriettiva, una biiettiva ed una iniettiva.  Esempi.

     Introduzione ai polinomi ed alle serie formali in una indeterminata a coefficienti in A, dove A può variare tra i seguenti insiemi numerici Z, Q, R, C. Successioni in A e funzioni  da N ad A. 
    Prodotto di convoluzione. Coefficiente direttore, grado di un polinomio.

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    X Settimana (23-27 Novembre)

    Polinomi a coefficienti in A che sono invertibili e polinomi che sono irriducibili. Divisione con il resto tra polinomi (con particolare riferimento al caso in cui A può variare tra i seguenti insiemi numerici Q, R, C): esistenza ed unicità del quoziente e resto.
    Cenni sulla teoria della divisibilità  tra polinomi, MCD e mcm tra polinomi  a coefficienti in A, dove A può variare tra i seguenti insiemi numerici Z, Q, R, C.  Cenni sul calcolo del MCD e di una identità di Bézout tramite l'algoritmo euclideo delle divisioni successive tra polinomi (con particolare riferimento al caso in cui A può variare tra i seguenti insiemi numerici Q, R, C).
    Contenuto di un polinomio a coefficienti in Z. Polinomi primitivi. Lemma di Gauss sul prodotto di polinomi primitivi. Formula del contenuto del prodotto di polinomi a coefficienti interi. I polinomi primitivi a coefficienti in  sono irriducibili in Z[T] se e soltanto se lo sono in Q[T].
    Cenni sul Teorema Fondamentale dell'Algebra: ogni polinomio non costante in C[T] ha un numero di radici (contate ciascuna con la relativa molteplicità) uguale al suo grado su C. In altre parole, i polinomi (non costanti) irriducibili in C[T] sono soltanto i polinomi lineari.

    Definizione di operazione binaria, di gruppo e di gruppo abeliano. Esempi.

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    XI Settimana (30 Novembre - 4 Dicembre)

     Matrici ad entrate in insiemi numerici. Somma di matrici.  Matrici quadrate (2x2) ed operazione di prodotto righe per colonne. Determinante di una matrice 2x2 ad entrate in insiemi numerici. 
    Matrici 2x2 invertibili. Gruppo delle matrici invertibili 2x2 ad entrate in Q, R, C, o Z/≡p .
    Sottogruppo di un gruppo. Esempi e controesempi.  Sottogruppi. Esempi. Il centro di un gruppo.

     Appunti integrativi     3. Breve introduzione alla teoria dei gruppi 


    Omomorfismi tra gruppi. Esempi. Prime proprietà degli omomorfismi tra gruppi. Esempi.
    Sottogruppi e relazioni di equivalenza compatibili con l'operazione di gruppo.  

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    XII Settimana (7-11 Dicembre)

     Sottogruppi normali. Caratterizzazioni dei sottogruppi normali. Esempi.
    Il nucleo di un omomorfismo. Gruppo-quoziente rispetto ad un sottogruppo normale. Il teorema fondamentale di omomorfismo tra gruppi. Esempi ed applicazioni.


    Introduzione alla Teoria degli Anelli. Definizione di anello. Primi esempi.




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    XII Settimana (14-19 Dicembre)
    Anelli, domini e campi. Prime proprietà conseguenti dagli assiomi. Esempi e controesempi. Sottoanelli e loro caratterizzazione. Esempi e controesempi.
    Prime proprietà degli omomorfismi tra anelli. Esempi di omomorfismi tra anelli. Ideali e relazioni di equivalenza sugli anelli che "rispettano" la somma ed il prodotto. Esempi di ideali.  Il nucleo di un omomorfismo. Anelli-quoziente. Esempi. Teorema fondamentale di omomorfismo per anelli. Esempi.
    Appunti integrativi     4. Breve introduzione alla teoria degli anelli, I 


     Appunti integrativi     5. Breve introduzione alla teoria degli anelli, II   



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