- Esercitatore: Dr. Carmelo Finocchiaro
Studio N. 201 - carmelo(at)mat.uniroma3.it
__________________________________
I Settimana (25 Settembre)
Principali simboli logici, proposizioni, tabelle di verità. Negazione di proposizioni del tipo $P\wedge Q,P\vee Q$ (e, quindi, anche $P \Longrightarrow Q$), e negazione di proposizioni contenenti i simboli quantificatori esistenziale $\exists$ oppure universale $\forall$. Equivalenze logiche, tautologie, dimostrazione per assurdo. Elementi di Teoria degli Insiemi. Introduzione al paradosso di Russell. Esempi ed esercizi vari.
Principali simboli logici, proposizioni, tabelle di verità. Negazione di proposizioni del tipo $P\wedge Q,P\vee Q$ (e, quindi, anche $P \Longrightarrow Q$), e negazione di proposizioni contenenti i simboli quantificatori esistenziale $\exists$ oppure universale $\forall$. Equivalenze logiche, tautologie, dimostrazione per assurdo. Elementi di Teoria degli Insiemi. Introduzione al paradosso di Russell. Esempi ed esercizi vari.
__________________________________
II Settimana (28 Settembre - 2 Ottobre)
Alcuni assiomi della Teoria degli Insiemi. Esercizi sull'uso degli assiomi e superamento del paradosso di Russell. Insiemi transitivi. Esempi ed esercizi vari. Esercizi sull'uso delle varie forme del Principio di Induzione.
Esercizi per casa 1.
Esercizi sui numeri primi. Insiemi parzialmente ordinati. Esempi. Massimo e minimo di insiemi parizialmente ordinati. Elementi massimali e elementi minimali di insiemi parzialmente ordinati. Insiemi bene ordinati. Insiemi totalmente ordinati. Esercizi di riepilogo.
Esercizi di ricapitolazione su aritmetica, numeri primi, teoria degli insiemi. Ordini parziali su un insieme. L'ordine canonico $\mathbf R$ (e $\mathbf N$). L'ordine di divisibilità su $\mathbf N^+$. L'ordine dell'inclusione sulla famiglia delle parti di un insieme. Il grafico di un ordine parziale, esempi. Elementi massimali e minimali, massimo e minimo in insiemi parzialmente ordinati. Estremo inferiore e superiore di sottoinsiemi di insiemi parzialmente ordinati. Esempi ed esercizi vari. Calcolo della forma polare di un numero complesso. In $\mathbf C$ vale la legge di annullamento del prodotto. Radici $n$-esime di un numero complesso. Equazioni di variabile complessa.
Esercizi per casa 2.
_________________________________
Tutorato (a cura di Stefano Caporro e Sara D'Ettorre)
Tutorato 1.
Tutorato 2.
Tutorato 3.
Tutorato 4.
Tutorato 5.
Tutorato 6.
Tutorato 7.
Tutorato 8.
Tutorato 9.
Tutorato 10.
Tutorato 11.
Tutorato 12.
Alcuni assiomi della Teoria degli Insiemi. Esercizi sull'uso degli assiomi e superamento del paradosso di Russell. Insiemi transitivi. Esempi ed esercizi vari. Esercizi sull'uso delle varie forme del Principio di Induzione.
Esercizi per casa 1.
__________________________________
III Settimana (5 Ottobre - 9 Ottobre)
Esercizi di ricapitolazione sul Principio di Induzione. Ogni numero naturale si può esprimere come somma di una collezione finita di numeri di Fibonacci a due a due non consecutivi. Esempi di uso dell'Algoritmo di Euclide per determinare MCD e indentità di Bezout. Esempi di risoluzione di equazioni diofantee. Esercizi di ricapitolazione sulla divisibilità. Espansione di un numero naturale in ogni base $b\geq 2$. Considerazioni di carattere generale sull'Algoritmo di Euclide. Stime della lunghezza dell'Algoritmo di Euclide.
Esercizi di ricapitolazione sul Principio di Induzione. Ogni numero naturale si può esprimere come somma di una collezione finita di numeri di Fibonacci a due a due non consecutivi. Esempi di uso dell'Algoritmo di Euclide per determinare MCD e indentità di Bezout. Esempi di risoluzione di equazioni diofantee. Esercizi di ricapitolazione sulla divisibilità. Espansione di un numero naturale in ogni base $b\geq 2$. Considerazioni di carattere generale sull'Algoritmo di Euclide. Stime della lunghezza dell'Algoritmo di Euclide.
__________________________________
IV Settimana (12 Ottobre - 16 Ottobre)
Esercizi sui numeri primi. Insiemi parzialmente ordinati. Esempi. Massimo e minimo di insiemi parizialmente ordinati. Elementi massimali e elementi minimali di insiemi parzialmente ordinati. Insiemi bene ordinati. Insiemi totalmente ordinati. Esercizi di riepilogo.
__________________________________
V Settimana (19 Ottobre - 23 Ottobre)
Esercizi di ricapitolazione su aritmetica, numeri primi, teoria degli insiemi. Ordini parziali su un insieme. L'ordine canonico $\mathbf R$ (e $\mathbf N$). L'ordine di divisibilità su $\mathbf N^+$. L'ordine dell'inclusione sulla famiglia delle parti di un insieme. Il grafico di un ordine parziale, esempi. Elementi massimali e minimali, massimo e minimo in insiemi parzialmente ordinati. Estremo inferiore e superiore di sottoinsiemi di insiemi parzialmente ordinati. Esempi ed esercizi vari. Calcolo della forma polare di un numero complesso. In $\mathbf C$ vale la legge di annullamento del prodotto. Radici $n$-esime di un numero complesso. Equazioni di variabile complessa.
Esercizi per casa 2.
__________________________________
VI Settimana (26 Ottobre - 30 Ottobre)
Esercizi di ricapitolazione su aritmetica e Principio di Induzione. Radici $n$-esime dell'unità e loro rappresentazione sulla circonferenza unitaria $\mathbf S^1$. Calcolo di inversi aritmetici. Equazioni lineari in una incognita a coefficienti in $\mathbf Z/n\mathbf Z$. L'equazione $[a]_nX=[b]_n$ ammette soluzioni se, e soltanto se $d:=$MCD$(a,n)$ divide $b$. Legame fra equazioni congruenziali ed equazioni diofantee. Calcolo del numero di soluzioni dell'equazione $[a]_nX=[b]_n$ (quando essa è compatibile).
Esercizi di ricapitolazione su aritmetica e Principio di Induzione. Radici $n$-esime dell'unità e loro rappresentazione sulla circonferenza unitaria $\mathbf S^1$. Calcolo di inversi aritmetici. Equazioni lineari in una incognita a coefficienti in $\mathbf Z/n\mathbf Z$. L'equazione $[a]_nX=[b]_n$ ammette soluzioni se, e soltanto se $d:=$MCD$(a,n)$ divide $b$. Legame fra equazioni congruenziali ed equazioni diofantee. Calcolo del numero di soluzioni dell'equazione $[a]_nX=[b]_n$ (quando essa è compatibile).
__________________________________
VII Settimana (9 Novembre - 13 Novembre)
Sistemi di congruenze lineari in una incognita e loro soluzioni. Teorema cinese dei resti, sua dimostrazione e applicazioni. Calcolo dell'indicatore di Eulero di ogni numero naturale. Applicazioni del Teorema di Eulero-Fermat. Esercizi su iniettività e surgettività di funzioni. Non esistono bigezioni fra un insieme finito e un suo sottoinsieme proprio.
Sistemi di congruenze lineari in una incognita e loro soluzioni. Teorema cinese dei resti, sua dimostrazione e applicazioni. Calcolo dell'indicatore di Eulero di ogni numero naturale. Applicazioni del Teorema di Eulero-Fermat. Esercizi su iniettività e surgettività di funzioni. Non esistono bigezioni fra un insieme finito e un suo sottoinsieme proprio.
__________________________________
VIII Settimana (16 Novembre - 20 Novembre)
Insiemi numerabili. Ogni insieme infinito ha un sottoinsieme numerabile. Sia $X$ un insieme. Allora le seguenti condizioni sono equivalenti: (1) $X$ è infinito; (2) Esistono un sottoinsieme proprio $Y$ di $X$ e una funzione $g:X\longrightarrow Y$ bigettiva. Bigezioni esplicite $\mathbf Z\longrightarrow \mathbf N$ e $\mathbf N\times \mathbf N\longrightarrow \mathbf N$ (dunque, gli insiemi $\mathbf Z$ e $\mathbf N\times \mathbf N$ sono insiemi numerabili). Procedimento diagonale di Cantor. Una circonferenza privata di un punto si identifica canonicamente con una retta (tramite proiezione stereografica). Funzione caratteristica di un insieme. Sia $X$ un insieme non vuoto e $\{0,1\}^X$ l'insieme di tutte le funzioni $X\longrightarrow \{0,1\}$. Allora esiste una bigezione $\mathcal P(X)\longrightarrow \{0,1\}^X$. Siano $f:A\longrightarrow B, g:C\longrightarrow D$ bigezioni. Allora esistono bigezioni $\mathcal P(A)\longrightarrow \mathcal P(B), A\times C\longrightarrow B\times D$. Numerabilità di $\mathbf Q$. Enunciato del Teorema di Cantor-Bernstein e sue applicazioni. Esiste una bigezione $\mathbf R\longrightarrow \mathcal P(\mathbf N)$. Teorema di Cantor: se $X$ è un insieme non vuoto, non esiste alcuna funzione surgettiva $X\longrightarrow \mathcal P(X)$. Dunque l'insieme dei numeri reali non è numerabile. Siano $A,B$ insiemi non vuoti: discussione sull'equivalenza delle condizioni: (1) esiste una funzione iniettiva $A\longrightarrow B$; (2) esiste una funzione surgettiva $B\longrightarrow A$.
Esercizi per casa 3.
Insiemi numerabili. Ogni insieme infinito ha un sottoinsieme numerabile. Sia $X$ un insieme. Allora le seguenti condizioni sono equivalenti: (1) $X$ è infinito; (2) Esistono un sottoinsieme proprio $Y$ di $X$ e una funzione $g:X\longrightarrow Y$ bigettiva. Bigezioni esplicite $\mathbf Z\longrightarrow \mathbf N$ e $\mathbf N\times \mathbf N\longrightarrow \mathbf N$ (dunque, gli insiemi $\mathbf Z$ e $\mathbf N\times \mathbf N$ sono insiemi numerabili). Procedimento diagonale di Cantor. Una circonferenza privata di un punto si identifica canonicamente con una retta (tramite proiezione stereografica). Funzione caratteristica di un insieme. Sia $X$ un insieme non vuoto e $\{0,1\}^X$ l'insieme di tutte le funzioni $X\longrightarrow \{0,1\}$. Allora esiste una bigezione $\mathcal P(X)\longrightarrow \{0,1\}^X$. Siano $f:A\longrightarrow B, g:C\longrightarrow D$ bigezioni. Allora esistono bigezioni $\mathcal P(A)\longrightarrow \mathcal P(B), A\times C\longrightarrow B\times D$. Numerabilità di $\mathbf Q$. Enunciato del Teorema di Cantor-Bernstein e sue applicazioni. Esiste una bigezione $\mathbf R\longrightarrow \mathcal P(\mathbf N)$. Teorema di Cantor: se $X$ è un insieme non vuoto, non esiste alcuna funzione surgettiva $X\longrightarrow \mathcal P(X)$. Dunque l'insieme dei numeri reali non è numerabile. Siano $A,B$ insiemi non vuoti: discussione sull'equivalenza delle condizioni: (1) esiste una funzione iniettiva $A\longrightarrow B$; (2) esiste una funzione surgettiva $B\longrightarrow A$.
Esercizi per casa 3.
__________________________________
IX Settimana (23 Novembre - 27 Novembre)
Assioma della Scelta e suo uso. Applicazioni del teorema fondamentale sulle funzioni. Dati interi coprimi $r,s$ la funzione $f:\mathbf Z\longrightarrow (\mathbf Z/r\mathbf Z)\times (\mathbf Z/s\mathbf Z)$, $x\mapsto([x]_r,[x]_s)$, è surgettiva e induce una bigezione $f^*:\mathbf Z/rs\mathbf Z\longrightarrow (\mathbf Z/r\mathbf Z)\times (\mathbf Z/s\mathbf Z)$. Per ogni intero positivo $n$, sia $\mathcal U(\mathbf Z/n\mathbf Z)$ l'insieme degli invertibili di $\mathbf Z/n\mathbf Z$. Allora la bigezione $f^*$ induce, per restrizione, una bigezione $\mathcal U(\mathbf Z/rs\mathbf Z)\longrightarrow\mathcal U (\mathbf Z/r\mathbf Z)\times\mathcal U (\mathbf Z/s\mathbf Z)$. In particolare segue la moltiplicatività dell'indicatore di Eulero. Caratterizzazione per l'irriducibilità di un polinomio di grado 2 o 3 in $A[T]$, dove $A\in\{\mathbf Q,\mathbf R,\mathbf C,\mathbf Z/p\mathbf Z, p\mbox{ primo}\}$. I polinomi irriducibili in $\mathbf C[T]$ sono precisamente quelli di grado 1. Se $z$ è radice complessa non reale di un polinomio $f\in\mathbf R[T]$, allora anche $\overline z$ è radice di $f$. Gli unici polinomi irriducibili di $\mathbf R[T]$ sono i polinomi di grado 1 e quelli di grado 2 che non hanno radici reali. Ricerca delle possibili radici razionali di un polinomio a coefficienti interi.
__________________________________
XII Settimana (14-18 Dicembre)
Classificazione dei gruppi con 4 elementi. Se $G$ è un gruppo con $n$ elementi e $H$ è un sottogruppo di $G$ avente cardinalità $d$, allora entrambe le partizioni indotte dalle relazioni di equivalenza (sinistra e destra) associate a $H$ hanno $n/d$ elementi; se inoltre $n=2d$, allora $H$ è normale in $G$. Il gruppo alterno $A_n$ è normale in $S_n$. Il viceversa al Teorema di Lagrange non vale in generale: infatti $A_4$ ha 12 elementi ma non ha alcun sottogruppo di cardinalità 6. Un gruppo di cardinalità pari ha sempre almeno un elemento di ordine 2. Esempi notevoli di anelli e loro sottoanelli e/o ideali. L'ampliamento di Nagata $\mathbf Z(+)\mathbf Q$ di $\mathbf Z$ su $\mathbf Q$: calcolo di divisori dello zero e invertibili. Analogie fra $\mathbf Z$ e $K[T]$, dove $K$ è un campo e $T$ è un'indeterminata su $K$. Definizione della congruenza $\equiv_f$ modulo un polinomio $f$ e anello quoziente $K[T]/(f):=K[T]/\equiv_f$. Analogie fra gli anelli $K[T]/(f)$ e $\mathbf Z/n\mathbf Z$: dato $g\in K[T]$, $[g]_f$ è invertibile in $K[T]/(f)$ se e soltanto se MCD$(f,g)=1$. L'anello $K[T]/(f)$ è un campo se e soltanto se $f$ è irriducibile in $K[T]$. Esempi di calcolo di inverso di una classe in un quoziente di anelli di polinomi.
Esercizi per casa 4.
Esercizi per casa 5.
Assioma della Scelta e suo uso. Applicazioni del teorema fondamentale sulle funzioni. Dati interi coprimi $r,s$ la funzione $f:\mathbf Z\longrightarrow (\mathbf Z/r\mathbf Z)\times (\mathbf Z/s\mathbf Z)$, $x\mapsto([x]_r,[x]_s)$, è surgettiva e induce una bigezione $f^*:\mathbf Z/rs\mathbf Z\longrightarrow (\mathbf Z/r\mathbf Z)\times (\mathbf Z/s\mathbf Z)$. Per ogni intero positivo $n$, sia $\mathcal U(\mathbf Z/n\mathbf Z)$ l'insieme degli invertibili di $\mathbf Z/n\mathbf Z$. Allora la bigezione $f^*$ induce, per restrizione, una bigezione $\mathcal U(\mathbf Z/rs\mathbf Z)\longrightarrow\mathcal U (\mathbf Z/r\mathbf Z)\times\mathcal U (\mathbf Z/s\mathbf Z)$. In particolare segue la moltiplicatività dell'indicatore di Eulero. Caratterizzazione per l'irriducibilità di un polinomio di grado 2 o 3 in $A[T]$, dove $A\in\{\mathbf Q,\mathbf R,\mathbf C,\mathbf Z/p\mathbf Z, p\mbox{ primo}\}$. I polinomi irriducibili in $\mathbf C[T]$ sono precisamente quelli di grado 1. Se $z$ è radice complessa non reale di un polinomio $f\in\mathbf R[T]$, allora anche $\overline z$ è radice di $f$. Gli unici polinomi irriducibili di $\mathbf R[T]$ sono i polinomi di grado 1 e quelli di grado 2 che non hanno radici reali. Ricerca delle possibili radici razionali di un polinomio a coefficienti interi.
__________________________________
X Settimana (30 Novembre - 4 Dicembre)
Teorema di Eisenstein e sua versione reciproca. Condizione di irriducibilità modulo $p$. Esempi ed esercizi vari sulla fattorizzazione di Studio del gruppo $S(X)$ delle bigezioni (o permutazioni) di un insieme non vuoto $X$ in sé. Il supporto di una bigezione $f\in S(X)$ è l'insieme ${\rm Supp}(f):=\{x\in X:f(x)\neq x\}$. Due bigezioni $f,g\in S(X)$ disgiunte (i.e. ${\rm Supp}(f)\cap {\rm Supp}(g)= \emptyset$) commutano rispetto alla composizione. Nozione di $k$-ciclo di $S_n:=S(\{1,2,\ldots,n\})$. Ogni permutazione in $S_n$ si può esprimere, in modo unico (a meno di ordine), come composizione di cicli a due a due disgiunti. Esempi ed esercizi vari. Nozione di segno di una permutazione. Proprietà di moltiplicatività del segno. Calcolo del segno delle trasposizioni. Ogni $k$-ciclo è composizione di $k-1$ trasposizioni. Dunque il segno di $k$-ciclo è $(-1)^{k-1}$.
__________________________________
XI Settimana (7-11 Dicembre)
L'ordine di un elemento $g$ in un gruppo è uguale alla cardinalità del gruppo che $g$ genera. Se $g$ è un elemento di ordine $s$ allora l'ordine di $g^k$ è $\dfrac{s}{{\rm MCD}(k,s)}$. Se $G$ è un gruppo ciclico di ordine $s$, per ogni divisore $d$ di $s$ esiste un unico sottogruppo di $G$ di cardinalità $d$. Esempi di calcolo di sottogruppi di gruppi ciclici e loro generatori. Se $g,h$ sono elementi di un gruppo qualsiasi $G$ aventi ordini coprimi $r,s$, se $gh=hg$ allora l'ordine di $gh$ è $rs$. L'ordine di un $k$-ciclo in $S_n$ è $k$. Uso della struttura ciclica di una permutazione per il calcolo del suo ordine. Esempi espliciti di descrizione della partizione individuata dai laterali sinistri rispetto a un sottogruppo. Teorema di Lagrange, dimostrazione e applicazioni. Se $G$ è un gruppo con $n$ elementi, allora $g^n=1$, per ogni $g\in G$. Dal Teorema di Lagrange segue il Teorema di Eulero-Fermat. Se $p$ è un numero primo e $G$ è un gruppo con $p$ elementi, allora $G$ è ciclico. Classificazione dei gruppi ciclici.
__________________________________
XI Settimana (7-11 Dicembre)
L'ordine di un elemento $g$ in un gruppo è uguale alla cardinalità del gruppo che $g$ genera. Se $g$ è un elemento di ordine $s$ allora l'ordine di $g^k$ è $\dfrac{s}{{\rm MCD}(k,s)}$. Se $G$ è un gruppo ciclico di ordine $s$, per ogni divisore $d$ di $s$ esiste un unico sottogruppo di $G$ di cardinalità $d$. Esempi di calcolo di sottogruppi di gruppi ciclici e loro generatori. Se $g,h$ sono elementi di un gruppo qualsiasi $G$ aventi ordini coprimi $r,s$, se $gh=hg$ allora l'ordine di $gh$ è $rs$. L'ordine di un $k$-ciclo in $S_n$ è $k$. Uso della struttura ciclica di una permutazione per il calcolo del suo ordine. Esempi espliciti di descrizione della partizione individuata dai laterali sinistri rispetto a un sottogruppo. Teorema di Lagrange, dimostrazione e applicazioni. Se $G$ è un gruppo con $n$ elementi, allora $g^n=1$, per ogni $g\in G$. Dal Teorema di Lagrange segue il Teorema di Eulero-Fermat. Se $p$ è un numero primo e $G$ è un gruppo con $p$ elementi, allora $G$ è ciclico. Classificazione dei gruppi ciclici.
__________________________________
XII Settimana (14-18 Dicembre)
Classificazione dei gruppi con 4 elementi. Se $G$ è un gruppo con $n$ elementi e $H$ è un sottogruppo di $G$ avente cardinalità $d$, allora entrambe le partizioni indotte dalle relazioni di equivalenza (sinistra e destra) associate a $H$ hanno $n/d$ elementi; se inoltre $n=2d$, allora $H$ è normale in $G$. Il gruppo alterno $A_n$ è normale in $S_n$. Il viceversa al Teorema di Lagrange non vale in generale: infatti $A_4$ ha 12 elementi ma non ha alcun sottogruppo di cardinalità 6. Un gruppo di cardinalità pari ha sempre almeno un elemento di ordine 2. Esempi notevoli di anelli e loro sottoanelli e/o ideali. L'ampliamento di Nagata $\mathbf Z(+)\mathbf Q$ di $\mathbf Z$ su $\mathbf Q$: calcolo di divisori dello zero e invertibili. Analogie fra $\mathbf Z$ e $K[T]$, dove $K$ è un campo e $T$ è un'indeterminata su $K$. Definizione della congruenza $\equiv_f$ modulo un polinomio $f$ e anello quoziente $K[T]/(f):=K[T]/\equiv_f$. Analogie fra gli anelli $K[T]/(f)$ e $\mathbf Z/n\mathbf Z$: dato $g\in K[T]$, $[g]_f$ è invertibile in $K[T]/(f)$ se e soltanto se MCD$(f,g)=1$. L'anello $K[T]/(f)$ è un campo se e soltanto se $f$ è irriducibile in $K[T]$. Esempi di calcolo di inverso di una classe in un quoziente di anelli di polinomi.
Esercizi per casa 4.Esercizi per casa 5._________________________________
Tutorato (a cura di Stefano Caporro e Sara D'Ettorre)
Tutorato 1.Tutorato 2.Tutorato 3.Tutorato 4.Tutorato 5.Tutorato 6. Tutorato 7.Tutorato 8.Tutorato 9.Tutorato 10.Tutorato 11.Tutorato 12.